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估計回歸系數的最小二乘法原理最小二乘法原理

2023-08-05 19:25:26 來源：城市網

(資料圖)

1、我用括號把層次分開,簡單的說就是:讓(((采樣的點)跟(擬合的曲線)的距離)總和)最小.樓上的說法有問題,不是非要直線不可,任何曲線都可以的. 最小二乘法在我們研究兩個變量(x, y)之間的相互關系時，通常可以得到一系列成對的數據(x1, yx2, y2... xm , ym)；將這些數據描繪在x -y直角坐標系中(如圖1), 若發現這些點在一條直線附近，可以令這條直線方程如(式1-1)。

2、 Y計= a0 + a1 X (式1-1) 其中：a0、a1 是任意實數為建立這直線方程就要確定a0和a1，應用《最小二乘法原理》，將實測值Yi與利用(式1-1)計算值(Y計=a0+a1X)的離差(Yi-Y計)的平方和〔∑(Yi - Y計)2〕最小為“優化判據”。

3、令: φ = ∑(Yi - Y計)2 (式1-2) 把(式1-1)代入(式1-2)中得: φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3) 當∑(Yi-Y計)平方最小時，可用函數 φ 對a0、a1求偏導數，令這兩個偏導數等于零。

4、 (式1-4) (式1-5) 亦即： m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6) (∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7) 得到的兩個關于a0、 a1為未知數的兩個方程組，解這兩個方程組得出： a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8) a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 這時把a0、a1代入(式1-1)中, 此時的(式1-1)就是我們回歸的元線性方程即：數學模型。

5、在回歸過程中，回歸的關聯式是不可能全部通過每個回歸數據點(x1, y x2, y2...xm,ym),為了判斷關聯式的好壞,可借助相關系數“R”，統計量“F”，剩余標準偏差“S”進行判斷；“R”越趨近于 1 越好；“F”的絕對值越大越好；“S”越趨近于 0 越好。

6、 R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊在(式1-1)中，m為樣本容量，即實驗次數；Xi、Yi分別任意一組實驗X、Y的數值。

7、微積分應用課題一最小二乘法從前面的學習中, 我們知道最小二乘法可以用來處理一組數據, 可以從一組測定的數據中尋求變量之間的依賴關系, 這種函數關系稱為經驗公式. 本課題將介紹最小二乘法的精確定義及如何尋求與之間近似成線性關系時的經驗公式. 假定實驗測得變量之間的個數據 , , …, , 則在平面上, 可以得到個點 , 這種圖形稱為“散點圖”, 從圖中可以粗略看出這些點大致散落在某直線近旁, 我們認為與之間近似為一線性函數, 下面介紹求解步驟. 考慮函數 , 其中和是待定常數. 如果在一直線上, 可以認為變量之間的關系為 . 但一般說來, 這些點不可能在同一直線上. 記 , 它反映了用直線來描述 , 時, 計算值與實際值產生的偏差. 當然要求偏差越小越好, 但由于可正可負, 因此不能認為總偏差時, 函數就很好地反映了變量之間的關系, 因為此時每個偏差的絕對值可能很大. 為了改進這一缺陷, 就考慮用來代替 . 但是由于絕對值不易作解析運算, 因此, 進一步用來度量總偏差. 因偏差的平方和最小可以保證每個偏差都不會很大. 于是問題歸結為確定中的常數和 , 使為最小. 用這種方法確定系數 , 的方法稱為最小二乘法.。

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